Question

6．已知A （1，2），B（a，1），C（2，3），D（-1，b）（a，b∈R）是复平面上的四个点，且向量$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{CD}$对应的复数分别为z₁，z₂．
（Ⅰ）若z₁+z₂=1+i，求z₁，z₂
（Ⅱ）若|z₁+z₂|=2，z₁-z₂为实数，求a，b的值．

Answer 1

分析 （I）向量$\overrightarrow{AB}$=（a-1，-1），$\overrightarrow{CD}$=（-3，b-3）对应的复数分别为z₁=（a-1）-i，z₂=-3+（b-3）i．利用z₁+z₂=（a-4）+（b-4）i=1+i．即可得出a，b．
（II）|z₁+z₂|=2，z₁-z₂为实数，可得$\sqrt{（a-4）^{2}+（b-4）^{2}}$=2，（a+2）+（2-b）i∈R，即可得出．

解答 解：（I）向量$\overrightarrow{AB}$=（a-1，-1），$\overrightarrow{CD}$=（-3，b-3）对应的复数分别为z₁=（a-1）-i，z₂=-3+（b-3）i．
∴z₁+z₂=（a-4）+（b-4）i=1+i．
∴a-4=1，b-4=1．
解得a=b=5．
∴z₁=4-i，z₂=-3+2i．
（II）|z₁+z₂|=2，z₁-z₂为实数，
∴$\sqrt{（a-4）^{2}+（b-4）^{2}}$=2，（a+2）+（2-b）i∈R，
∴2-b=0，解得b=2，
∴（a-4）²+4=4，解得a=4．
∴a=4，b=2．

点评 本题考查了复数的运算法则、几何意义、方程思想，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．