Question

8．在校运动会上，甲、乙、丙三位同学每人均从跳远，跳高，铅球，标枪四个项目中随机选一项参加比赛，假设三人选项目时互不影响，且每人选每一个项目时都是等可能的
（1）求仅有两人所选项目相同的概率；
（2）设X为甲、乙、丙三位同学中选跳远项目的人数，求X的分布列和数学期望E（X）

Answer 1

分析 （1）先求出基本事件总数n=4³=64，再求出仅有两人所选项目相同包含的基本事件个数m=C${\;}_{3}^{2}$${A}_{4}^{2}$=36，由此能求出仅有两人所选项目相同的概率．
（2）由题意X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．

解答 解：（1）甲、乙、丙三位同学每人均从跳远，跳高，铅球，标枪四个项目中随机选一项参加比赛，
假设三人选项目时互不影响，且每人选每一个项目时都是等可能的，
基本事件总数n=4³=64，
仅有两人所选项目相同包含的基本事件个数m=C${\;}_{3}^{2}$${A}_{4}^{2}$=36，
∴仅有两人所选项目相同的概率p=$\frac{m}{n}=\frac{36}{64}$=$\frac{9}{16}$．
（2）由题意X的可能取值为0，1，2，3，
P（X=0）=$\frac{{3}^{3}}{{4}^{3}}$=$\frac{27}{64}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{3}^{1}×3×3}{{4}^{3}}$=$\frac{27}{64}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{3}^{2}×3}{{4}^{3}}$=$\frac{9}{64}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{4}^{3}}$=$\frac{1}{64}$，
∴X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	$\frac{27}{64}$	$\frac{27}{64}$	$\frac{9}{64}$	$\frac{1}{64}$

EX=$0×\frac{27}{64}+1×\frac{27}{64}+2×\frac{9}{64}+3×\frac{1}{64}$=$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．