Question

设F₁，F₂分别是椭圆E：x²+

y2

b2

=1（0＜b＜1）的左、右焦点，过点F₁的直线交椭圆E于A、B两点，若|AF₁|=3|F₁B|，AF₂⊥x轴，则椭圆E的方程为

 

．

Answer 1

考点：椭圆的标准方程,椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：求出B（-

5

3

c，-

1

3

b²），代入椭圆方程，结合1=b²+c²，即可求出椭圆的方程．

解答： 解：由题意，F₁（-c，0），F₂（c，0），AF₂⊥x轴，∴|AF₂|=b²，
∴A点坐标为（c，b²），
∵|AF₁|=3|F₁B|，
∴

(2c)2+(b2)2

=3

(xB+c)2+y2

∴B（-

5

3

c，-

1

3

b²），
代入椭圆方程可得(-

5

3

c)2+

(- 1 3 b2)2

b2

=1，
∵1=b²+c²，
∴b²=

2

3

，c²=

1

3

，
∴x²+

3

2

y2=1．
故答案为：x²+

3

2

y2=1．

点评：本题考查椭圆的方程与性质，考查学生的计算能力，属于中档题．