Question

以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ（x）组成的集合：对于函数φ（x），存在一个正数M，使得函数φ（x）的值域包含于区间[-M，M]．例如，当φ₁（x）=x³，φ₂（x）=sinx时，φ₁（x）∈A，φ₂（x）∈B．现有如下命题：
①设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“?b∈R，?a∈D，f（a）=b”；
②函数f（x）∈B的充要条件是f（x）有最大值和最小值；
③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）+g（x）∉B．
④若函数f（x）=aln（x+2）+

x

x2+1

（x＞-2，a∈R）有最大值，则f（x）∈B．
其中的真命题有

 

．（写出所有真命题的序号）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用,充要条件,全称命题,特称命题,函数的值域

专题：新定义,极限思想,函数的性质及应用,不等式的解法及应用,简易逻辑

分析：根据题中的新定义，结合函数值域的概念，可判断出命题①②③是否正确，再利用导数研究命题④中函数的值域，可得到其真假情况，从而得到本题的结论．

解答： 解：（1）对于命题①，若对任意的b∈R，都?a∈D使得f（a）=b，则f（x）的值域必为R．反之，f（x）的值域为R，则对任意的b∈R，都?a∈D使得f（a）=b，故①是真命题；
   （2）对于命题②，若函数f（x）∈B，即存在一个正数M，使得函数f（x）的值域包含于区间[-M，M]．
∴-M≤f（x）≤M．例如：函数f（x）满足-2＜f（x）＜5，则有-5≤f（x）≤5，此时，f（x）无最大值，无最小值，故②是假命题；
   （3）对于命题③，若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）值域为R，f（x）∈（-∞，+∞），并且存在一个正数M，使得-M≤g（x）≤M．故f（x）+g（x）∈（-∞，+∞）．
则f（x）+g（x）∉B，故③是真命题；
   （4）对于命题④，∵-

1

2

≤

x

x2+1

≤

1

2

，
当a＞0或a＜0时，alnx∈（-∞，+∞），f（x）均无最大值，若要使f（x）有最大值，则a=0，此时f（x）=

x

x2+1

，f（x）∈B，故④是真命题．
故答案为①③④．

点评：本题考查了函数值域的概念、基本不等式、充要条件，还考查了新定义概念的应用和极限思想．本题计算量较大，也有一定的思维难度，属于难题．