题目内容
已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a=2，且（2+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC，则△ABC面积的最大值为 ．
考点：正弦定理
专题：解三角形
分析：由条件利用正弦定理可得b2+c2-bc=4．再由余弦定理可得A=
，利用基本不等式可得bc≤4，当且仅当b=c=2时，取等号，此时，△ABC为等边三角形，从而求得它的面积
bc•sinA 的值．
| π |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
解答：
解：△ABC中，∵a=2，且（2+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC，
∴利用正弦定理可得（2+b）（a-b）=（c-b）c，即 b2+c2-bc=4，即b2+c2-4=bc，
∴cosA=
=
=
，∴A=
．
再由b2+c2-bc=4，利用基本不等式可得 4≥2bc-bc=bc，
∴bc≤4，当且仅当b=c=2时，取等号，
此时，△ABC为等边三角形，它的面积为
bc•sinA=
×2×2×
=
，
故答案为：
．
∴利用正弦定理可得（2+b）（a-b）=（c-b）c，即 b2+c2-bc=4，即b2+c2-4=bc，
∴cosA=
| b2+c2-a2 |
| 2bc |
| bc |
| 2bc |
| 1 |
| 2 |
| π |
| 3 |
再由b2+c2-bc=4，利用基本不等式可得 4≥2bc-bc=bc，
∴bc≤4，当且仅当b=c=2时，取等号，
此时，△ABC为等边三角形，它的面积为
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| 3 |
故答案为：
| 3 |
点评：本题主要考查正弦定理的应用，基本不等式，属于中档题．
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