题目内容
已知矩阵A的逆矩阵A-1=（
）．
（1）求矩阵A；
（2）求矩阵A-1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量．
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（1）求矩阵A；
（2）求矩阵A-1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量．
考点：特征向量的定义
专题：计算题,矩阵和变换
分析：（1）利用AA-1=E，建立方程组，即可求矩阵A；
（2）先根据特征值的定义列出特征多项式，令f（λ）=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量．
（2）先根据特征值的定义列出特征多项式，令f（λ）=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量．
解答：
解：（1）设A=
，则由AA-1=E得
=
，
解得a=
，b=-
，c=-
，d=
，所以A=
；
（2）矩阵A-1的特征多项式为f（λ）=
=（λ-2）2-1，
令f（λ）=（λ-2）2-1=0，可求得特征值为λ1=1，λ2=3，
设λ1=1对应的一个特征向量为α=
，
则由λ1α=Mα，得x+y=0
得x=-y，可令x=1，则y=-1，
所以矩阵M的一个特征值λ1=1对应的一个特征向量为
，
同理可得矩阵M的一个特征值λ2=3对应的一个特征向量为
．
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解得a=
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
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（2）矩阵A-1的特征多项式为f（λ）=
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令f（λ）=（λ-2）2-1=0，可求得特征值为λ1=1，λ2=3，
设λ1=1对应的一个特征向量为α=
|
则由λ1α=Mα，得x+y=0
得x=-y，可令x=1，则y=-1，
所以矩阵M的一个特征值λ1=1对应的一个特征向量为
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同理可得矩阵M的一个特征值λ2=3对应的一个特征向量为
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点评：本题考查逆变换与逆矩阵，考查矩阵特征值与特征向量的计算等基础知识，属于基础题．
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