Question

已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，A，B为其左右顶点，点P为双曲线C在第一象限的任意一点，点O为坐标原点，若PA，PB，PO的斜率为k₁，k₂，k₃，则m=k₁k₂k₃的取值范围为（　　）

• A、（0，3

  3

  ）
• B、（0，

  3

  ）
• C、（0，

  3

  9

  ）
• D、（0，8）

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由已知条件推导出b=

3

a，k₁k₂=

y

x+a

•

y

x-a

=

y2

x2-a2

=

b2

a2

=3，0＜k₃＜

3

，由此能求出m=k₁k₂k₃的取值范围．

解答： 解：∵双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，
∴e=

c

a

=2，∴b=

c2-a2

=

3

a，
设P（x，y），∵点P为双曲线C在第一象限的任意一点，∴

x2

a2

-

y2

b2

=1，
∵A，B为双曲线C的左右顶点，点O为坐标原点，PA，PB，PO的斜率为k₁，k₂，k₃，
∴k₁k₂=

y

x+a

•

y

x-a

=

y2

x2-a2

=

b2

a2

=3，
又∵双曲线渐近线为y=±

3

x，∴0＜k₃＜

3

，
∴0＜m=k₁k₂k₃＜3

3

，
故选：A．

点评：本题考查斜率乘积的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，要熟练掌握双曲线的简单性质．