Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在单位平面上，∠xOA=α，∠AOB=

π

3

，且α∈（

π

6

，

π

2

）．
（Ⅰ）若cos（α+

π

3

）=-

7

14

，求x₁的值；
（Ⅱ）过点A，B分别做x轴的垂线，垂足为C、D，记△AOC的面积为S₁，△BOD的面积为S₂．设f（α）=S₁+S₂，求函数f（α）的最大值．

Answer 1

考点：任意角的三角函数的定义,三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的求值

分析：（Ⅰ）由三角函数的定义有x1=cosα ，x2=cos(α+

π

3

)，由条件求得sin(α+

π

3

)=

3 21

14

，再根据x₁=
cosα=cos[（α+

π

3

）-

π

3

]，利用两角差的余弦公式求得结果．
（Ⅱ）由y₁=sinα，得S1=x1y1=

1

2

cosαsinα=

1

4

sin2α，再求得y2=sin(α+

π

3

)，可得S₂=-

1

2

x₂•y₂=-

1

4

sin（2α+

2π

3

），可得f(α)=S1+S2=

1

4

sin2α-

1

4

sin(2α+

2π

3

)，化简为

3

4

sin(2α-

π

6

)，根据α∈（

π

6

，

π

2

），利用正弦函数的定义域和值域求得函数f（α）的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）由三角函数的定义有x1=cosα ，x2=cos(α+

π

3

)，
∵cos(α+

π

3

)=-

7

14

，α∈(

π

6

 ，   

π

2

)，∴sin(α+

π

3

)=

3 21

14

，
∴x1=cosα=cos[(α+

π

3

)-

π

3

]=cos(α+

π

3

)cos

π

3

+sin(α+

π

3

)sin

π

3

，
∴x1=

2 7

7

．
（Ⅱ）由y₁=sinα，得S1=x1y1=

1

2

cosαsinα=

1

4

sin2α．
又由α∈(

π

6

 ，  

π

2

) ，得α+

π

3

∈(

π

2

 ，  

5π

6

)，于是y2=sin(α+

π

3

)，
∴S2=-

1

2

x2y2=-

1

2

cos(α+

π

3

)sin(α+

π

3

)=-

1

4

sin(2α+

2π

3

)，
∴f(α)=S1+S2=

1

4

sin2α-

1

4

sin(2α+

2π

3

)
=

1

4

sin2α-

1

4

(sin2αcos

2π

3

+cos2αsin

2π

3

)
=

3

8

sin2α-

3

8

cos2α=

3

4

(

3

2

sin2α-

1

2

cos2α)=

3

4

sin(2α-

π

6

)，
由α∈(

π

6

 ，  

π

2

) ，可得2α-

π

6

∈(

π

6

 ，  

5π

6

)，于是当2α-

π

6

=

π

2

，
即α=

π

3

 时，f(α)max=

3

4

．

点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，三角函数的恒等变换，属于中档题．