Question

某煤矿发生透水事故时，作业区有若干人员被困．救援队从入口进入之后有L₁，L₂两条巷道通往作业区（如图），L₁巷道有A₁，A₂，A₃三个易堵塞点，各点被堵塞的概率都是

1

2

；L₂巷道有B₁，B₂两个易堵塞点，被堵塞的概率分别为

3

4

，

3

5

．
（Ⅰ）求L₁巷道中，三个易堵塞点最多有一个被堵塞的概率；
（Ⅱ）若L₂巷道中堵塞点个数为X，求X的分布列及数学期望EX，并按照“平均堵塞点少的巷道是较好的抢险路线“的标准，请你帮助救援队选择一条抢险路线，并说明理由．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,互斥事件的概率加法公式

专题：综合题,概率与统计

分析：（Ⅰ）利用互独立事件的概率计算公式即可得出；
（Ⅱ）比较走两条路的数学期望的大小，即可得出要选择的路线．

解答： 解：（Ⅰ）设”L₁巷道中，三个易堵塞点最多有一个被堵塞”为事件A
则P(A)=

C

0 3

×(

1

2

)3+

C

1 3

×

1

2

×(

1

2

)2=

1

2

（Ⅱ）依题意，X的可能取值为0，1，2
P(X=0)=(1-

3

4

)×(1-

3

5

)=

1

10

P(X=1)=

3

4

×(1-

3

5

)+(1-

3

4

)×

3

5

=

9

20

P(X=2)=

3

4

×

3

5

=

9

20

所以，随机变量X的分布列为：

X	0	1	2
P	1 10	9 20	9 20

EX=0×

1

10

+1×

9

20

+2×

9

20

=

27

20

设L₁巷道中堵塞点个数为Y，则Y的可能取值为0，1，2，3，
P(Y=0)=

C

0 3

×(

1

2

)3=

1

8

，
P(Y=1)=

C

1 3

×

1

2

×(

1

2

)2=

3

8

，
P(Y=2)=

C

2 3

×(

1

2

)2×

1

2

=

3

8

，
P(Y=3)=

C

3 3

×(

1

2

)3=

1

8

，
所以，随机变量Y的分布列为：

Y	0	1	2	3
P	1 8	3 8	3 8	1 8

EY=0×

1

8

+1×

3

8

+2×

3

8

+3×

1

8

=

3

2

．
因为EX＜EY，所以选择L₂巷道为抢险路线为好．

点评：熟练掌握二项分布列、相互独立事件的概率计算公式及离散型随机变量的期望计算公式及其意义是解题的关键．