Question

某合资企业招聘夫学生时加试英语听力，待测试的小组中有男、女生共10人（其中女生人数多于男生人数），若从中随机选2人，其中恰为一男一女的概率为

8

15

．
（Ⅰ）求该小组中女生的人数：
（Ⅱ）若该小组中每个女生通过测试的概率均为

3

4

，每个男生通过测试的概率均为

2

3

；现对该小组中女生甲、女生乙和男生丙、男生丁4人进行测试，记这4人中通过测试的人数为随机变量X．求X的分布列和数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,等可能事件的概率

专题：综合题,概率与统计

分析：（I）设出该小组中有n个女生，根据古典概型的概率公式得到比值，等于恰为一男一女的概率，解出关于n的方程．
（Ⅱ）由题意知X的取值为0，1，2，3，4，结合变量对应的事件，和独立重复试验的概率公式，得到变量对应的概率，写出分布列，求出期望值．

解答： 解：（Ⅰ）设该小组中有n个女生，
由题意，得

C 1 n C 1 10-n

C 2 10

=

8

15

，
解得n=6或n=4（舍），
所以该小组有6名女生；
（Ⅱ）由题意，X的取值为0，1，2，3，4
P（X=0）=(

1

4

)2×(

1

3

)2=

1

144

，
P（X=1）=

C

1 2

×

3

4

×

1

4

×(

1

3

)2+

C

1 2

×(

1

4

)2×

2

3

×

1

3

=

5

72

，
P（X=2）=(

3

4

)2×(

1

3

)2+(

C

1 2

)2×

3

4

×

2

3

×

1

4

×

1

3

+(

1

4

)2×(

2

3

)2=

37

144

，
P（X=3）=

C

1 2

×

3

4

×

1

4

×(

2

3

)2+

C

1 2

×(

3

4

)2×

2

3

×

1

3

=

5

12

，
P（X=4）=(

3

4

)2×(

2

3

)2=

1

4

．
所以X的分布列为：

X	0	1	2	3	4
P	1 144	5 72	37 144	5 12	1 4

所以EX=0×

1

144

+1×

5

72

+2×

37

144

+3×

5

12

+4×

1

4

=

17

6

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查古典概型的概率公式，考查独立重复试验的概率公式，考查利用概率与统计的知识解决实际问题．