Question

已知函数f（x）=

ax+b

x

e^x，a，b∈R，且a＞0．
（1）若a=2，b=1，求函数f（x）的极值；
（2）设g（x）=a（x-1）e^x-f（x）．
①当a=1时，对任意x∈（0，+∞），都有g（x）≥1成立，求b的最大值；
②设g′（x）为g（x）的导函数，若存在x＞1，使g（x）+g′（x）=0成立，求

b

a

的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（1）根据导数的性质，可以判断原函数的单调区间，进行求出极值；
（2）利用分离变量法，由已知变量的取值范围求出参数的取值范围，通过构造新的函数，等价转化，解决存在性问题，若存在x＞1，

b

a

=u(x)成立，即求出u（x）的最小值．

解答： 解：（1）当a=2，b=1时，f(x)=(2+

1

x

)ex，定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），
∴f′(x)=

(x+1)(2x-1)

x2

ex，
令f′（x）＞0得：x＜-1或x＞

1

2

，令f′(x)＜0得-1＜x＜0或0＜x＜

1

2

，
∴函数y=f（x），在（-∞，-1）和(

1

2

，+∞)上单调递增，在（-1，0）和（0，

1

2

）上单调递减；
∴f（x）的极大值是f(-1)=

1

e

，极小值是f(

1

2

)=4

e

；
（2）g（x）=（ax-

b

x

-2a）e^x，
①当a=1时，g（x）=(x-

b

x

-2)ex，
∵g（x）≥1在x∈（0，+∞）上恒成立，
∴b≤x2-2x-

x

ex

在x∈（0，+∞）上恒成立．
记h(x)=x2-2x-

x

ex

，（x＞0），则h′(x)=

(x-1)(2ex+1)

ex

，
当0＜x＜1时，h′（x）＜0，h（x）在（0，1）上是减函数；
当x＞1时，h′（x）＞0，h（x）在（1，+∞）上是增函数；
∴h′(x)min=h(1)=-1-e-1，
∴函数的小值为-1-e^-1．
②∵g(x)=(ax-

b

x

-2a)ex，所以g′(x)=(

b

x2

+ax-

b

x

-a)ex，
由g（x）+g′（x）=0，得(ax-

b

x

-2a)ex+(

b

x2

+ax-

b

x

-a)ex=0，
整理得2ax³-3ax²-2bx+b=0．
存在x＞1，使g（x）+g′（x）=0成立，
等价于存在x＞1，2ax³-3ax²-2bx+b=0成立，
∵a＞0，∴

b

a

=

2x3-3x2

2x-1

，
设u(x)=

2x3-3x2

2x-1

（x＞1），则u′(x)=

8x[(x- 3 4 )2+ 3 16 ]

(2x-1)2

，
∵x＞1，∴u′（x）＞0恒成立，∴u（x）在（1，+∞）上是增函数，∴u（x）＞u（1）=-1，
∴

b

a

＞-1，即

b

a

的取值范围为（-1，+∞）．

点评：本题考查了，利用导数的性质，求函数的极值，构造函数，利用化归，等价转化思想，解决恒成立问题和存在性的问题，这是常考的题型，也是高考的热点．平时要多多留意．