Question

设正项数列{a_n}的前n项和为S_n，数列{S_n}的前n项积为T_n，且S_n+T_n=1．
（1）求a₁，S₂；
（2）求证：数列{

1

Tn

}是等差数列；
（3）试求数列{

1

an

}中最接近2012的项．

Answer 1

考点：数列递推式,等差关系的确定,数列的求和

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）根据条件建立方程组，即可求a₁，S₂；
（2）根据条件利用归纳推理得到T_n=

1

n+1

的通项公式，利用等差数列的定义即可证明数列{

1

Tn

}是等差数列；
（3）求出数列{

1

an

}的通项公式，即可得到结论．

解答： 解：（1）当n=1时，a₁+a₁=2a₁=1，解得a₁=

1

2

，此时S₁=

1

2

，T₁=

1

2

．
当n=2时，S₂+T₂=1，即

1

2

+a2+

1

2

•(

1

2

+a2)=1，
解得a2=

1

6

，S2=

1

2

+

1

6

=

4

6

=

2

3

．
（2）当n=3时，a₁+a₂+a₃=S₃，S₁S₂S₃+S₃=1，
则a₃=S₃-S₂=S₃-

2

3

，T₃=S₁S₂S₃=

1

2

×

2

3

S₃=

1

3

S3，
即T₃+S₃=

1

3

S3+S3=

4

3

S3=1，
即S₃=

3

4

，则a₃=

3

4

-

2

3

=

1

12

则a₁=

1

2

，a₂=

1

6

，a₃=

1

12

…，
S₁=

1

2

，S₂=

2

3

，S₃=

3

4

…，
T₁=

1

2

，T₂=

1

3

，T₃=

1

4

…，
∴根据归纳推理可得
a_n=

1

n(n+1)

，
S_n=

n

n+1

，
T_n=

1

n+1

，
∴

1

Tn

=n+1，
则

1

Tn

-

1

Tn-1

=n+1-n=1为常数，
∴数列{

1

Tn

}是等差数列．
（3）∵a_n=

1

n(n+1)

，
∴

1

an

=n（n+1），
则当n=44时，44×45=1980，45×46=2070，
∴第44项最接近．

点评：本题主要考查递推数列的应用，根据数列的递推关系，利用归纳推理是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．