Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的离心率与双曲线

x2

4

-

y2

3

=1的一条渐近线的斜率相等，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线sinα•x+cosα•y-1=0相切（α为常数）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过点M（3，0）的直线与椭圆C相交于A，B两点，设P为椭圆上一点，且满足

OA

+

OB

=t

OP

（O为坐标原点），当|

PB

-

PA

|＜

3

时，求实数t取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）根据双曲线

x2

4

-

y2

3

=1的一渐近线斜率值，确定椭圆的离心率，结合椭圆的短半轴长为半径的圆与直线sinα•x+cosα•y-1=0相切，求出椭圆的几何量，即可求椭圆C的方程；
（2）AB方程为y=k（x-3），代入椭圆方程，利用

OA

+

OB

=t

OP

，确定P的坐标，代入椭圆方程得36k²=t²（1+4k²），由|AB|＜

3

，即可求实数t取值范围．

解答： 解：（1）由题意知双曲线

x2

4

-

y2

3

=1的一渐近线斜率值为

3

2

，
所以e=

c

a

=

3

2

，所以e2=

c2

a2

=

a2-b2

a2

=

3

4

，所以a2=4b2，
因为b=

1

sin2α+cos2α

=1，所以a²=4，b²=1．
故椭圆C的方程为

x2

4

+y2=1???????（5分）
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y），AB方程为y=k（x-3）?
由

y=k(x-3) x2 4 +y2=1

?整理得（1+4k²）x²-24k²x+36k²-4=0．
由△=（24k²）²-4（1+4k²）•（36k²-4）＞0，
解得k2＜

1

5

．x1+x2=

24k2

1+4k2

，x1•x2=

36k2-4

1+4k2

…（7分）
所以

OA

+

OB

=(x1+x2，y1+y2)=t(x，y)
则x=

1

t

(x1+x2)=

24k2

t(1+4k2)

，y=

1

t

(y1+y2)=

-6k

t(1+4k2)

，
由点P在椭圆上，代入椭圆方程得36k²=t²（1+4k²）①…（9分）
又由|AB|＜

3

，即(1+k2)[(x1+x2)2-4x1•x2]＜3，
将x1+x2=

24k2

1+4k2

，x1•x2=

36k2-4

1+4k2

，
代入得（8k²-1）•（16k²+13）＞0
则8k²-1＞0，k2＞

1

8

，
所以

1

5

＞k2＞

1

8

②…（11分）
由①，得t2=

36k2

1+4k2

，联立②，解得3＜t²＜4
所以

3

＜t＜2或-2＜t＜-

3

…（13分）

点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查椭圆的方程与性质，利用直线与椭圆联立，进而利用韦达定理是解题的关键．