Question

如图在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，平面PAD⊥平面ABCD，PA=PD=AD=2，Q为AD的中点，M是棱PC上一点，且PM=

1

3

PC．
（Ⅰ）求证：PQ⊥平面ABCD；
（Ⅱ）证明：PA∥平面BMQ；
（Ⅲ）求二面角M-BQ-C的度数．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定

专题：空间角

分析：（1）根据已知中平面PAD⊥平面ABCD，结合面面垂直的性质定理，易得PQ⊥平面ABCD；
（2）证明线面平行，关键是利用线面平行的判定定理，只要证明PA平行于平面内的一条直线；
（3）连结BD，以Q为坐标原点，QA，QB，QP分别为x轴y轴z轴建立空间直角坐标系，求出平面BMQ和BCQ的法向量，代入向量夹角公式，可得答案．

解答： 证明：（I）由已知中PA=PD，Q为AD的中点，
∴PQ⊥AD，
又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PQ?平面PAD，
∴PQ⊥平面ABCD；
（Ⅱ）连接AC交BQ于N，连接MN，
∵AQ∥BC，
∴△ANQ∽△CNB
∴

AQ

BC

=

AN

NC

=

1

2

，
∴

AN

AC

=

1

3

，
∵PM=

1

3

PC，
∴PA∥MN
∵PA?平面MQB，MN?平面MQB
∴PA∥平面MQB
（Ⅲ）连结BD，∵底面ABCD是菱形，且∠BAD=60°，
∴△BAD是等边三角形，
∴BQ⊥AD由（Ⅰ）PQ⊥平面ABCD．
∴PQ⊥AD．
以Q为坐标原点，QA，QB，QP分别为x轴y轴z轴建立空间直角坐标系

则Q(0，0，0)，A(1，0，0)，B(0，

3

，0)，P(0，0，

3

)．
设平面BMQ的法向量为

m

=(x，y，z)，
∴

m • QB =0 m • MN =0

，注意到MN∥PA
∴

m • QB =0 m • PA =0

，
解得

m

=(

3

，0，1)是平面BMQ的一个法向量
又∵平面BCQ的法向量为

n

=

QP

=（0，0，

3

）
故二面角M-BQ-C的平面角θ满足：
cosθ=

| m • n |

| m |•| n |

=

1

2

，
故θ=

π

3

，
即二面角M-BQ-C的平面角为

π

3

．

点评：本题考查线面平行，考查面面角，解题的关键是利用线面平行的判定，理解面面角的定义，属于中档题．