Question

已知函数f（x）=4cosxsin（x+

π

6

）-1
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）在△ABC中，角A所对的边为a，且f（A）=2，a=1，求△ABC外接圆的面积．

Answer 1

考点：正弦定理,三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：计算题

分析：（Ⅰ）用倍角公式对函数解析式化简，最后根据三角函数的性质求得函数的最小正周期．
（Ⅱ）利用已知条件求得A，然后用正弦定理求得r，最后利用面积公式求得答案．

解答： 解：（Ⅰ）∵f(x)=4cosxsin(x+

π

6

)-1
=4cosx(

3

2

sinx+

1

2

cosx)-1
=

3

sin2x+2co

s

2

x-1
=

3

sin2x+cos2x
=2sin(2x+

π

6

)，
∴f（x）的最小正周期为T=

2π

2

π．
（Ⅱ）∵f(A)=2sin(2A+

π

6

)=2，
所以 sin(2A+

π

6

)=1，
又∴∵0＜A＜π，所以

π

6

＜2x+

π

6

＜

13π

6

．
∴2A+

π

6

=

π

2

，即A=

π

6

，
由正弦定理

a

sinA

=2R，
∴R=1；
∴S_△ABC=πR²=π．

点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的运用及正弦定理的应用．考查了学生基础知识的综合运用．