Question

已知：各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，且对任意正整数n，点（a_n，S_n）都在直线2x-y-

1

2

=0上．
（1）求数列{a_n}的通项公式．
（2）（附加题）若a_n²=2^-b，设C_n=

bn

an

  求：数列{C_n}前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的函数特性,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：根据题意以及等比数列的定义，判定数列{a_n}是以

1

2

为首项，2为公比的等比数列，求出它的通项公式即可．

解答： 解：由题意知2a_n=S_n+

1

2

，（a_n＞0）；
当n=1时，2a₁=a₁+

1

2

，
∴a₁=

1

2

；
当n≥2时，S_n=2a_n-

1

2

，S_n-1=2a_n-1-

1

2

；
两式相减得a_n=2a_n-2a_n-1，（n≥2）；
整理得：

an

an-1

=2，（n≥2）；
∴数列{a_n}是以

1

2

为首项，2为公比的等比数列．
它的通项公式为a_n=a₁•2^n-1=

1

2

×2^n-1=2^n-2．

点评：本题考查了数列的函数特征以及等比数列的通项公式问题，解题时应根据等比数列的定义判定数列是否为等比数列，并且求出通项公式，是综合题．