Question

15．函数f（x）=x+x³（x∈R），当$0＜θ＜\frac{π}{2}$时，f（asinθ）+f（1-a）＞0恒成立，则实数a的取值范围是{a|a≤1}．

Answer 1

分析 由题意可得函数f（x）为奇函数，且函数在R上单调递增，结合题意求得（1-sinθ）a＜1，即a＜$\frac{1}{1-sinθ}$．再根据$\frac{1}{1-sinθ}$＞1，求得a的取值范围．

解答 解：∵函数f（x）=x+x³（x∈R），∴函数f（x）为奇函数，且函数在R上单调递增，
当$0＜θ＜\frac{π}{2}$时，f（asinθ）+f（1-a）＞0恒成立，即f（asinθ）＞-f（1-a）=f（a-1）恒成立，
即 f（asinθ）＞f（a-1）恒成立，∴asinθ＞a-1，即（1-sinθ）a＜1．
当$0＜θ＜\frac{π}{2}$时，sinθ∈（ 0，1），∴a＜$\frac{1}{1-sinθ}$．
由于$\frac{1}{1-sinθ}$＞1，∴a≤1，
故答案为：{a|a≤1}．

点评 本题主要考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，函数的恒成立问题，正弦函数的值域，属于中档题．