Question

3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且$\sqrt{3}$acosC=（2b-$\sqrt{3}$c）cosA．
（1）求角A的大小；
（2）已知等差数列{a_n}的公差不为零，若a₁sinA=1，且a₂，a₄，a₈成等比数列，求{$\frac{4}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）运用正弦定理和两角和的正弦公式及内角和定理，化简整理即可得到所求角；
（2）等差数列{a_n}的公差d不为零，运用等差数列的通项公式和等比数列的中项的性质，解方程可得a₁=d=2，即有$\frac{4}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{4}{2n•2（n+1）}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，再由裂项相消求和方法，计算即可得到所求和．

解答 解：（1）$\sqrt{3}$acosC=（2b-$\sqrt{3}$c）cosA，
可得2bcosA=$\sqrt{3}$（acosC+ccosA），
由正弦定理可得2sinBcosA=$\sqrt{3}$（sinAcosC+sinCcosA）
=$\sqrt{3}$sin（A+C）=$\sqrt{3}$sinB（sinB＞0），
即有cosA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
0＜A＜π，可得A=$\frac{π}{6}$；
（2）等差数列{a_n}的公差d不为零，
若a₁sinA=1，可得a₁=$\frac{1}{sin\frac{π}{6}}$=2，
a₂，a₄，a₈成等比数列，可得a₄²=a₂a₈，
即有（a₁+3d）²=（a₁+d）（a₁+7d），
化简可得a₁=d=2，
则a_n=a₁+（n-1）d=2n，
$\frac{4}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{4}{2n•2（n+1）}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
则前n项和S_n=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查解三角形的正弦定理和三角函数的和差公式，以及等差数列的通项公式和等比数列的中项的性质，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题．