Question

4．若x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}x-1≥0\\ x-2y+2≤0\\ x+y-4≤0\end{array}\right.$，则$z=\frac{y}{x}$的取值范围为[1，3]．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识即可得到结论．

解答 解：x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}x-1≥0\\ x-2y+2≤0\\ x+y-4≤0\end{array}\right.$的可行域如图，
则$z=\frac{y}{x}$的几何意义是可行域内的点与原点连线的斜率，
由图形可知，OA的斜率最大值，OB的斜率是最小值，
$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{x+y=4}\end{array}\right.$解得A（1，3），
$\left\{\begin{array}{l}{x+y=4}\\{x-2y+2=0}\end{array}\right.$解得B（2，2），
可得K_OA=3，K_OB=1，
则$z=\frac{y}{x}$的取值范围为：[1，3]．
故答案为：[1，3]．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．