Question

20．已知向量$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AC}$的夹角为120°，且$|\overrightarrow{AB}|=2$，$|\overrightarrow{AC}|=4$，若$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AB}+λ\overrightarrow{AC}$且$\overrightarrow{AP}⊥\overrightarrow{BC}$，则实数λ的值为（　　）

• A． $\frac{4}{5}$
• B． $-\frac{4}{5}$
• C． $\frac{2}{5}$
• D． $-\frac{2}{5}$

Answer 1

分析 根据向量的数量积的运算和向量的垂直的条件计算即可．

解答 解：∵向量$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AC}$的夹角为120°，且$|\overrightarrow{AB}|=2$，$|\overrightarrow{AC}|=4$，∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|•cosθ=2•4•cos120°=-4，
若$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AB}+λ\overrightarrow{AC}$且$\overrightarrow{AP}⊥\overrightarrow{BC}$，则（$\overrightarrow{AB}$+λ$\overrightarrow{AC}$）•（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）=（-λ+1）•$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$+λ•${\overrightarrow{AC}}^{2}$-${\overrightarrow{AB}}^{2}$=（1-λ）•（-4）+16λ-4=0，
求得λ=$\frac{2}{5}$，
故选：C．

点评 本题考查了向量的数量积的运算和向量的垂直的条件，属于基础题．