Question

设函数f（x）对于任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0时f（x）＜0，f（1）=-2．
（1）求f（0）；
（2）证明f（x）是奇函数；
（3）试问在x∈[-3，3]时f（x）是否有最大、最小值？如果有，请求出来，如果没有，说明理由．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：（1）令x=0，由f（0+y）=f（0）+f（y）得f（0）=0；
（2）令y=-x，则f（x）+f（-x）=f（x-x）=f（0）=0，得f（x）为奇函数．
（3）令x₂＞x₁则f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁），再由已知，即可得到f（x）在R上是减函数，再由f（1）-2，得到f（3）=-6，f（-3）=6，进而判断f（x）在[-3，3]上的最值．

解答： （1）解：∵f（x+y）=f（x）+f（y），
令x=0，则f（0+y）=f（0）+f（y），
∴f（0）=0；
（2）证明：令y=-x，
∴f（x）+f（-x）=f（x-x）=f（0）=0
∴f（x）为R上的奇函数；
（3）解：令x₂＞x₁
则f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁），
∵x₂＞x₁，
∴x₂-x₁＞0，f（x₂-x₁）=f（x₂）-f（x₁）＜0
∴f（x）为R上的单调减函数．
∵f（x+y）=f（x）+f（y），f（1）=-2，
∴f（2）=2f（1）=-4，f（3）=f（2）+f（1）=-6，
∴f（-3）=6，
∵f（x）在R上是减函数，
∴f（x）在[-3，3]上的最大值为f（-3）=6，最小值为f（3）=-6．

点评：本题以抽象函数为载体考查了函数求值，函数的奇偶性，函数的单调性和函数的最值，熟练掌握函数奇偶性和单调性的定义是解答的关键．