Question

已知集合A={x|x²-4x-5≤0}，B={x²-2x-m＜0}．
（1）当m=3时，求A∩（∁_RB）；
（2）若A∩B={x|-1＜x＜4}，求实数m的值．

Answer 1

考点：交、并、补集的混合运算,交集及其运算

专题：不等式的解法及应用,集合

分析：（1）把m=3代入不等式，分别求解一元二次不等式化简集合A，B，然后利用补集与交集运算求解；
（2）由集合A结合A∩B={x|-1＜x＜4}可知4∈B，把x=4代入方程x²-2x-m=0求得m的值．

解答： 解：（1）由x²-4x-5≤0，得（x+1）（x-5）≤0，
解得：-1≤x≤5．
∴A={x|x²-4x-5≤0}={x|-1≤x≤5}，
当m=3时，B={x²-2x-m＜0}={x²-2x-3＜0}，
由x²-2x-3＜0，得（x+1）（x-3）＜0．
解得-1＜x＜3．
∴B={x|-1＜x＜3}，
则∁_RB={x|x≤-1或x≥3}
∴A∩（∁_RB）={x|3≤x≤5或x=-1}；
（2）∵A={x|-1≤x≤5}，
A∩B={x|-1＜x＜4}，
∴4²-2×4-m=0，解得m=8，
此时B={x|-2＜x＜4}，符合题意，
故实数m的值为8．

点评：本题考查了交、并、补集的混合运算，考查了数学转化思想方法，关键是对题意的理解，是中档题．