Question

已知f（x）是定义在集合M上的函数，若区间D⊆M，且对任意x₀∈D，均有f（x₀）∈D，则称函数f（x）在区间D上封闭．
（1）判断函数f（x）=x+

2x-1

在定义域上是否封闭，并说明理由；
（2）若函数g（x）=

3x+a

x+1

在区间[3，10]上封闭，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数的值域,函数的定义域及其求法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）先求出函数的定义域，再求出函数的值域，从而得出函数是否封闭；（2）由题意得不等式组，解出即可．

解答： 解：（1）函数f（x）的定义域是：{x|x≥

1

2

}，
令

2x-1

=t，∴x=

t2+1

2

，（t≥0），
∴f（x）=

t2+1

2

+t=

1

2

（t+1）²≥

1

2

，
∴函数f（x）=x+

2x-1

在定义域上封闭；
（2）g（x）=3+

a-3

x+1

，
由题意得：3≤3+

a-3

x+1

≤10，
∴

a-3≥0 a-3 4 ≤7

，解得：3≤a≤31．

点评：本题考查了函数的定义域，值域问题，考查了新定义问题，是一道中档题．