Question

20．已知函数f（x）=x²+ax+b（a，b∈R）在区间（0，1]上有零点x₀，则$ab（\frac{x_0}{4}+\frac{1}{{9{x_0}}}-\frac{1}{3}）$的最大值是$\frac{1}{144}$．

Answer 1

分析 用a，x₀表示出b，利用基本不等式得出$ab（\frac{x_0}{4}+\frac{1}{{9{x_0}}}-\frac{1}{3}）$≤$\frac{1}{4}$（$\frac{{{x}_{0}}^{4}}{4}$-$\frac{{{x}_{0}}^{3}}{3}$+$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{9}$），利用导数求出右侧函数的单调性和最值即可得出答案．

解答 解：由f（x₀）=0得b=-x₀²-ax₀，
∴ab=-ax₀²-a²x₀=x₀[a（-x₀-a）]≤x₀•$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$=$\frac{{{x}_{0}}^{3}}{4}$．（当且仅当a=-x₀-a即x₀=-2a时取等号）
∴ab（$\frac{{x}_{0}}{4}+\frac{1}{9{x}_{0}}-\frac{1}{3}$）≤$\frac{1}{4}$（$\frac{{{x}_{0}}^{4}}{4}$-$\frac{{{x}_{0}}^{3}}{3}$+$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{9}$），
令g（x₀）=$\frac{{{x}_{0}}^{4}}{4}$-$\frac{{{x}_{0}}^{3}}{3}$+$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{9}$，则g′（x₀）=x₀³-x₀²+$\frac{2{x}_{0}}{9}$=x₀（x₀-$\frac{1}{3}$）（x₀-$\frac{2}{3}$），
∴g（x₀）在（0，$\frac{1}{3}$）上单调递增，在（$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$）上单调递减，在（$\frac{2}{3}$，1）上单调递增，
又g（$\frac{1}{3}$）=$\frac{1}{324}$，g（1）=$\frac{1}{4}-\frac{1}{3}+\frac{1}{9}$=$\frac{1}{36}$，
∴g（x₀）的最大值为$\frac{1}{36}$．
∴$ab（\frac{x_0}{4}+\frac{1}{{9{x_0}}}-\frac{1}{3}）$的最大值为$\frac{1}{4}×\frac{1}{36}$=$\frac{1}{144}$．
故答案为：$\frac{1}{144}$．

点评 本题考查了函数单调性判断，最值计算，属于中档题．