Question

5．在（$\frac{x}{2}$-$\frac{1}{x}$）ⁿ的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则n=8，展开式中常数项是$\frac{35}{8}$．

Answer 1

分析 在（$\frac{x}{2}$-$\frac{1}{x}$）ⁿ的展开式中，只有第5项的第二项系数最大，由此求出n=8．从而T_r+1=（$\frac{1}{2}$）^8-r（-1）^r${C}_{8}^{r}$x^8-2r，由8-2r=0，得r=4．由此能求出展开式中常数项．

解答 解：∵在（$\frac{x}{2}$-$\frac{1}{x}$）ⁿ的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，
∴n=8．
∴T_r+1=${C}_{8}^{r}$（$\frac{x}{2}$）^8-r（-$\frac{1}{x}$）^r
=（$\frac{1}{2}$）^8-r（-1）^r${C}_{8}^{r}$x^8-2r，
由8-2r=0，得r=4．
∴展开式中常数项是：（$\frac{1}{2}$）⁴（-1）⁴${C}_{8}^{4}$=$\frac{35}{8}$．
故答案为：8，$\frac{35}{8}$．

点评 本题考查二项式的幂指数的求法，考查展开式中常数项的求法，考查二项式定理、通项公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．