Question

15．已知函数f（x）=lnx+a（1-x），a∈R．
（I）求f（x）的单调区间；
（II）若对任意的x∈（0，+∞），都有f（x）≤2a-2，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （I）求出f′（x）=$\frac{1}{x}-a=\frac{1-ax}{x}$（x＞0），由此利用导数性质能求出f（x）的单调区间．
（II）法一：①当a≤0时，f（1）=0＞2a-2，从而不会有对任意的x∈（0，+∞），都有f（x）≤2a-2；当a＞0时，f（x）在（0，+∞）上的最大值为f（$\frac{1}{a}$）=-lna+a-1，对任意的x∈（0，+∞），都有f（x）≤2a-2等价于lna+a-1≥0．设g（x）=lnx+x-1=lnx-（1-x），则g（x）在（0，+∞）上单调递增，g（1）=0，由此能求出对任意的x∈（0，+∞），都有f（x）≤2a-2时，实数a的取值范围．
法二：对任意的x∈（0，+∞），都有f（x）≤2a-2，等价于a≥$\frac{lnx+2}{x+1}$．令g（x）=$\frac{lnx+2}{x+1}$，则g′（x）=$\frac{\frac{1}{x}-lnx-1}{（x+1）^{2}}$，令h（x）=$\frac{1}{x}-lnx-1$，则${h}^{'}（x）=-\frac{1}{{x}^{2}}-\frac{1}{x}$=$\frac{-（x+1）}{{x}^{2}}$，由此利用导数性质能求出x∈（0，+∞），f（x）≤2a-2时，实数a的取值范围．

解答 （本题满分9分）
解：（I）∵函数f（x）=lnx+a（1-x），a∈R．
∴f′（x）=$\frac{1}{x}-a=\frac{1-ax}{x}$（x＞0），…（1分）
当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，则f（x）在（0，+∞）上单调递增．…（2分）
当a＞0时，令f′（x）＞0，得0＜x＜$\frac{1}{a}$．
则f（x）在区间（0，$\frac{1}{a}$）上单调递增，在区间（$\frac{1}{a}$，+∞）上单调递减．…（4分）
（II）解法一：①当a≤0时，因为f（1）=0＞2a-2，
所以不会有对任意的x∈（0，+∞），都有f（x）≤2a-2．      …（5分）
②当a＞0时，由（I）知，f（x）在（0，+∞）上的最大值为：
f（$\frac{1}{a}$）=ln（$\frac{1}{a}$）+a（1-$\frac{1}{a}$）=-lna+a-1．     …（6分）
所以对任意的x∈（0，+∞），都有f（x）≤2a-2等价于f（$\frac{1}{a}$）=-lna+a-1≤2a-2．
即lna+a-1≥0．  …（7分）
设g（x）=lnx+x-1=lnx-（1-x），由（I）知g（x）在（0，+∞）上单调递增．
又g（1）=ln1+1-1=0，所以lna+a-1≥0的解为a≥1．  …（8分）
故对任意的x∈（0，+∞），都有f（x）≤2a-2时，实数a的取值范围是[1，+∞）．        …（9分）
解法二：对任意的x∈（0，+∞），都有f（x）≤2a-2，等价于a≥$\frac{lnx+2}{x+1}$．          …（5分）
令g（x）=$\frac{lnx+2}{x+1}$，则g′（x）=$\frac{\frac{1}{x}-lnx-1}{（x+1）^{2}}$． …（6分）
令h（x）=$\frac{1}{x}-lnx-1$，则${h}^{'}（x）=-\frac{1}{{x}^{2}}-\frac{1}{x}$=$\frac{-（x+1）}{{x}^{2}}$．
因为当x∈（0，+∞）时，h′（x）＜0恒成立，
所以h（x）在（0，+∞）上单调递减．  …（7分）
又h（1）=1-ln1-1=0，可得g（x）和g′（x）在（0，+∞）上的情况如下：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
g′（x）	+	0	-
g（x）	单调递增		单调递减

所以g（x）在（0，+∞）上的最大值为g（1）=$\frac{ln1+2}{1+1}=1$．      …（8分）
因此x∈（0，+∞），a≥g（x）等价于a≥g（1）=1．
故x∈（0，+∞），f（x）≤2a-2时，实数a的取值范围是[1，+∞）．      …（9分）

点评 本题考查函数的单调区间的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法，考查导数性质、构造法、函数的单调区间等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．