Question

11．若函数f（x）=e^x+ax² 无极值点，则a的取值范围是$[-\frac{e}{2}，0]$．

Answer 1

分析 求出f（x）的导数，可得e^x=-2ax至多一个实数解，设g（x）=e^x，h（x）=-2ax，求出y=g（x）的过原点的切线方程，可得切线的斜率，由题意可得a的不等式，即可得到a的范围．

解答 解：函数f（x）=e^x+ax² 导数f′（x）=e^x+2ax，
令f′（x）=0，即e^x=-2ax，
设g（x）=e^x，h（x）=-2ax，
g′（x）=e^x，设切点为（m，e^m），
可得切线的斜率为e^m，
切线的方程为y-e^m=e^m（x-m），
易求过点（0，0）的曲线g（x）的切线斜率为e，切点为（1，e），
方程为y=ex，
因此，由题意可得，0≤-2a≤e，
故$-\frac{e}{2}≤a≤0$．
故答案为：$[-\frac{e}{2}，0]$．

点评 本题考查导数的运用：求极值，注意运用转化思想和导数的几何意义，考查化简整理的运算能力，属于中档题．