Question

若向量

a

=（

3

sinωx，cosωx），b=（cosωx，cosωx），ω＞0，x∈R，f（x）=a•b-

1

2

，且f（x）的周期是π，设△ABC三个角A，B，C的对边分别为a，b，c
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）若c=

7

，f（C）=

1

2

，sinB=3sinA，求a，b的值．

Answer 1

考点：余弦定理,平面向量数量积的运算,两角和与差的正弦函数

专题：三角函数的图像与性质,解三角形

分析：（Ⅰ）化简函数解析式可得f（x）=sin（2ωx+

π

6

），由T=

2π

2ω

=

π

ω

=π即可解得ω．
（Ⅱ）由f（C）=sin（2C+

π

6

）=

1

2

，可得C=

π

3

，由余弦定理可得a²+b²-ab=7①，由已知及正弦定理可得：b=3a②，联立即可解得a，b的值．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=a•b-

1

2

=

3

sinωxcosωx+cos²ωx-

1

2

=

3

2

sin2ωx+

1

2

cos2ωx
=sin（2ωx+

π

6

）
由T=

2π

2ω

=

π

ω

=π
解得：ω=1

（Ⅱ）∵f（C）=sin（2C+

π

6

）=

1

2

，
∴2C+

π

6

=

π

6

（舍去）或2C+

π

6

=

5π

6

，
∴C=

π

3

由余弦定理可得：7=a²+b²-2abcos

π

3

即有：a²+b²-ab=7①
∵sinB=3sinA
∴由正弦定理可得：b=3a②
由①②即可解得：a=1，b=3

点评：此题考查了正弦定理、余弦定理，平面向量数量积的运算以及特殊角的三角函数值的应用，考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，熟练掌握公式及相关定理是解本题的关键，属于基本知识的考查．