Question

把一颗骰子投掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b，试就方程组

ax+bx=3 x+2y=2

解答下列问题：
（I）求方程组有解的概率；
（Ⅱ）求以方程组的解为坐标的点在第四象限的概率．

Answer 1

考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）利用分布计数原理求出骰子投掷2次所有的结果，通过解二元一次方程组判断出方程组有唯一解的条件，求出满足该条件的结果个数，利用古典概型的概率公式求出方程组只有一个解的概率；
（Ⅱ）解方程组

ax+by=3 x+2y=2

，根据条件确定a，b的范围，从而确定满足该条件的结果个数利用古典概型的概率公式求出方程组只有一个解的概率．

解答： 解：（Ⅰ）由题意知，基本事件空间Ω={（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），
（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），
…，（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）}，
基本事件总数n=36个，设A=“方程组有解”，则

.

A

=“方程组无解”．
若方程没有解，则

a

1

=

b

2

，即b=2a，
则符合条件的数组为（1，2），（2，4），（3，6），
所以P（

.

A

）=

3

36

=

1

12

，P（A）=1-

1

12

=

11

12

．
故方程组有解的概率为

11

12

．
（Ⅱ）由方程组

ax+by=3 x+2y=2

，
得

x= 2b-6 b-2a ＞0 y= 3-2a b-2a ＜0

，
若b＞2a，则有

b＞3 a＞ 3 2

，
即a=2，3，4，5，6，b=4，5，6，
符合条件的数组有（2，5），（2，6）共有2个，
若b＜2a，则有

b＜3 a＜ 3 2

，
即b=1，2，a=1
符合条件的数组有（1，1）共1个，
∴概率为p=

1+2

36

=

1

12

，
即以方程组的解为坐标的点在第四象限的概率为

1

12

．

点评：本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，属中档题．