题目内容
判断函数y=x3+x的单调性和奇偶性，并证明你的结论．
提示：（a3-b3）=（a-b）（a2+ab+b2））．
提示：（a3-b3）=（a-b）（a2+ab+b2））．
考点：函数奇偶性的判断,函数单调性的判断与证明
专题：函数的性质及应用
分析：根据函数单调性和奇偶性的定义分别进行判断和证明．
解答：
证明：1）设?x1，x2∈R且x1＜x2
有f（x1）-f（x2）=(x13+x1)-(x23+x2)
=(x13-x23)+(x1-x2)
=(x1-x2)(x12+x1x2+x22)+(x1-x2)
=(x1-x2)(x12+x1x2+x22+1)
=(x1-x2)(x12+x1x2+
x22+
x22+1)
=(x1-x2)((x1+
x2)2+
x22+1)
∵x1＜x2∴x1-x2＜0显然(x1+
x2)2+
x22+1＞0
∴f（x1）-f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2）
∴y=x3+x在R上是增函数
2）观察可知原函数的定义域为R关于原点对称f（-x）=（-x）3+（-x）=-（x3+x）=f（x）
∴y=x3+x为奇函数．
有f（x1）-f（x2）=(x13+x1)-(x23+x2)
=(x13-x23)+(x1-x2)
=(x1-x2)(x12+x1x2+x22)+(x1-x2)
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=(x1-x2)(x12+x1x2+
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∵x1＜x2∴x1-x2＜0显然(x1+
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∴f（x1）-f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2）
∴y=x3+x在R上是增函数
2）观察可知原函数的定义域为R关于原点对称f（-x）=（-x）3+（-x）=-（x3+x）=f（x）
∴y=x3+x为奇函数．
点评：本题主要考查函数单调性和奇偶性的判断和证明，利用定义法是解决本题的关键．
练习册系列答案
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如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M，N分别是线段A1B和A1B1的中点．