题目内容
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M，N分别是线段A1B和A1B1的中点．（Ⅰ）证明：平面MON∥平面B1BCC1
（Ⅱ）证明：平面A1BD⊥平面A1ACC1．
考点：直线与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定
专题：空间位置关系与距离
分析：（Ⅰ）连结AB1和B1C，由已知条件推导出MO∥B1C，由此能证明MN∥平面B1BCC1，从而平面MON∥平面B1BCC1．
（Ⅱ）由正方形性质得BD⊥AC，由线面垂直得BD⊥CC1，从而BD⊥平面A1ACC1，由此能证明平面A1BD⊥平面A1ACC1．
（Ⅱ）由正方形性质得BD⊥AC，由线面垂直得BD⊥CC1，从而BD⊥平面A1ACC1，由此能证明平面A1BD⊥平面A1ACC1．
解答：
证明：（Ⅰ）连结AB1和B1C，
∵M是BA1的中点，∴M也是AB1的中点，
∵O是AC的中点，∴MO∥B1C，
∵MO不包含于平面B1BCC1，B1C?平面B1BCC1，
∴MO∥平面B1BCC1，
又∵N是线段A1B1的中点，∴MN∥BB1，
而MN不包含于平面B1BCC1，BB1?平面B1BCC1，
∴MN∥平面B1BCC1，
又MN∩MO=M，∴平面MON∥平面B1BCC1．
（Ⅱ）∵底面ABCD是正方形，∴BD⊥AC，
∵CC1⊥底面ABCD，BD?底面ABCD，
∴BD⊥CC1，
∵AC?平面A1ACC1，C1C?平面A1ACC1，且AC∩C1C=C，
∴BD⊥平面A1ACC1，
∵BD?平面A1BD，
∴平面A1BD⊥平面A1ACC1．
∵M是BA1的中点，∴M也是AB1的中点，
∵O是AC的中点，∴MO∥B1C，
∵MO不包含于平面B1BCC1，B1C?平面B1BCC1，
∴MO∥平面B1BCC1，
又∵N是线段A1B1的中点，∴MN∥BB1，
而MN不包含于平面B1BCC1，BB1?平面B1BCC1，
∴MN∥平面B1BCC1，
又MN∩MO=M，∴平面MON∥平面B1BCC1．
（Ⅱ）∵底面ABCD是正方形，∴BD⊥AC，
∵CC1⊥底面ABCD，BD?底面ABCD，
∴BD⊥CC1，
∵AC?平面A1ACC1，C1C?平面A1ACC1，且AC∩C1C=C，
∴BD⊥平面A1ACC1，
∵BD?平面A1BD，
∴平面A1BD⊥平面A1ACC1．
点评：本题考查平面与平面平行的证明，考查平面与平面垂直的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
练习册系列答案
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