Question

已知数列

1

1×3

，

1

1×5

，

1

5×7

，

1

7×9

，…

1

(2n-1)×(2n+1)

，计算S₁，S₂，S₃，由此推测S_n的计算公式，并用数学归纳法证明．

Answer 1

考点：数学归纳法

专题：综合题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：利用条件计算S₁，S₂，S₃，由此推测S_n的计算公式；利用归纳法进行证明，检验n=1时等式成立，假设n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．

解答： 解：S₁=

1

3

，S₂=

2

5

，S₃=

3

7

，猜想：S_n=

n

2n+1

．
下面用数学归纳法加以证明：①n=1时，成立；
②假设n=k时，猜想成立，即S_k=

k

2k+1

，
则n=k+1时，S_k+1=

k

2k+1

+

1

(2k+1)(2k+3)

=

k+1

2(k+1)+1

，
∴n=k+1时猜想也成立
根据①②可知猜想对任何n∈N^*都成立．

点评：本题考查归纳推理，用数学归纳法证明等式，证明故当n=k+1时，猜想也成立，是解题的难点和关键．