Question

已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的离心率为

2

，且过P(

5

，1)，过右焦点F作两渐近线的垂线，垂足为M，N．
（1）求双曲线C的方程；
（2）求四边形OMFN的面积（O为坐标原点）．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）根据双曲线的离心率e=

2

，可得双曲线是等轴双曲线，设双曲线方程为x²-y²=a²，代入P的坐标，即可得出结论；
（2）求出右焦点F到渐近线y=x的距离，利用四边形OMFN为正方形，即可求四边形OMFN的面积．

解答： 解：（1）因为双曲线的离心率e=

2

，所以双曲线是等轴双曲线．-----------（2分）
设双曲线方程为x²-y²=a²，则
因为双曲线过点P(

5

，1)，所以有a²=4
所以双曲线方程为x²-y²=4-----------（6分）
（2）右焦点F（2

2

，0）到渐近线y=x的距离d=|FM|=2-----------（9分）
因为四边形OMFN为正方形，
所以S_{四边形OMFN}=2×2=4-----------（12分）

点评：本题考查双曲线的几何性质与标准方程，考查待定系数法的运用，考查四边形面积的计算，确定双曲线的方程是关键．