Question

如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为边长为2的菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E是BC的中点，PA=AB．
（Ⅰ）证明：AE⊥PD；
（Ⅱ）若F为PD上的动点，求EF与平面PAD所成最大角的正切值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）由题设条件知△ABC为正三角形，先推导出AE⊥AD，PA⊥AE，由直线垂直于平面的判定定理得到AE⊥平面PAD，由此能证明AE⊥PD．
（Ⅱ）连结AF，则∠AFE为EF与平面PAD所成的角，当AF⊥PD时，∠AFE最大，由此能求出EF与平面PAD所成最大角的正切值．

解答： 解：（Ⅰ）因为四边形ABCD为菱形，且∠ABC=60°，
所以△ABC为正三角形．
E为BC中点，故AE⊥BC；
又因为AD∥BC，所以AE⊥AD．…（3分）
因为PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，
所以PA⊥AE．…（5分）
故AE⊥平面PAD，又PD?平面PAD，
所以AE⊥PD．…（7分）
（Ⅱ）连结AF，由（Ⅰ）知AE⊥平面PAD，
所以∠AFE为EF与平面PAD所成的角．…（10分）
在Rt△AEF中，AE=

3

，∠AFE最大当且仅当AF最短，
即AF⊥PD时，∠AFE最大．…（12分）
依题意，此时，在Rt△PAD中，PA•AD=PD•AF，
所以AF=

2

，tan∠AFE=

AE

AF

=

6

2

．
所以，EF与平面PAD所成最大角的正切值为

6

2

．…（15分）

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查直线与平面所成最大角的正切值的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．