Question

如图，点F₁（-c，0）、F₂（c，0）分别是椭圆
C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦点，过点F₁作x轴的垂线，交椭圆C的上半部分于点P，过点F₂作PF₂的垂线交直线x=

a2

c

于点Q．
（1）如果点Q的坐标为（4，4），求椭圆C的方程；
（2）试判断直线PQ与椭圆C的公共点个数，并证明你的结论．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）先求得P点的坐标，根据PF₂⊥QF₂，可得QF₂的方程，将x=

a2

c

代入，结合点Q的坐标为（4，4），即可求椭圆C的方程；
（2）求出直线PQ的方程，代入椭圆C的方程，求出方程的解，即可得出结论．

解答： 解：（1）解方程组

x=-c x2 a2 + y2 b2 =1

得P点的坐标为(-c，

b2

a

)，
∴kPF2=

b2 a

-c-c

=-

b2

2ac

，
∵PF₂⊥QF₂，
∴kQF2=

2ac

b2

，
∴QF2的方程为：y=

2ac

b2

(x-c)
将x=

a2

c

代入上式解得y=2a，
∴Q点的坐标为(

a2

c

，2a)；
∵Q点的坐标为（4，4），∴

a2

c

=4且2a=4，
∴a=2，c=1，b²=a²-c²=3，
∴椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）∵Q点的坐标为(

a2

c

，2a)，P点的坐标为(-c，

b2

a

)，
∴kPQ=

2a- b2 a

a2 c -(-c)

=

c(2a2-b2)

a(a2+c2)

=

c

a

，
∴PQ的方程为y-2a=

c

a

(x-

a2

c

)，
即y=

c

a

x+a
将PQ的方程代入椭圆C的方程得b2x2+a2(

c

a

x+a)2=a2b2，
∴（b²+c²）x²+2a²cx+a⁴-a²b²=0①
∵a²=b²+c²
∴方程①可化为a²x²+2a²cx+a²c²=0
解得x=-c
∴直线PQ与椭圆C只有一个公共点．

点评：本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查直线的方程，考查学生的计算能力，属于中档题．