Question

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a≥b，sinA+

3

cosA=2sinB．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若c=

3

，求a+b的最大值．

Answer 1

考点：正弦定理,两角和与差的正弦函数

专题：三角函数的求值

分析：（Ⅰ）已知的等式左边提取2变形后，利用两角和与差的正弦函数公式化简，根据a≥b，得到A≥B，列出A与B的关系式，求出A+B的度数，即可求出角C的大小；
（Ⅱ）利用正弦定理列出关系式，将c与sinC的i代入表示出a与b，代入a+b中，利用两角和与差的正弦函数公式整理为一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域即可确定出a+b的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）sinA+

3

cosA=2sinB，即2（

1

2

sinA+

3

2

cosA）=2sin（A+

π

3

）=2sinB，
∵A，B都为三角形内角，且a≥b，
∴A≥B，
∴A+

π

3

=π-B，即A+B=

2π

3

，
则C=

π

3

；
（Ⅱ）由正弦定理得：

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=

3

3 2

=2，即a=

csinA

sinC

，b=

csinB

sinC

，
∴a+b=

c

sinC

（sinA+sinB）=2（sinA+sinB）
=2[sinA+sin（

2π

3

-A）]
=2（sinA+

3

2

cosA+

1

2

sinA）
=2

3

（

3

2

sinA+

1

2

cosA）
=2

3

sin（A+

π

6

），
∵A≥B，∴

π

3

≤A＜

2π

3

，即

π

2

≤A+

π

6

＜

5π

6

，
当A+

π

6

=

π

2

，即A=

π

3

，a+b的最大值为2

3

．

点评：此题考查了正弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．