Question

己知函数f（x）=lnx-ax+1（a＞0）．
（1）试探究函数f（x）的零点个数；
（2）若f（x）的图象与x轴交于A（x₁，0）B（x₂，0）（x₁＜x₂）两点，AB中点为C（x₀，0），设函数f（x）的导函数为f′（x），求证：f′（x₀）＜0．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,函数零点的判定定理

专题：导数的综合应用

分析：（1）中，通过对f（x）求导，研究f（x）的单调性及最值，从而利用数形结合的方法判断零点的个数；
（2）将A、B两点代入到f（x）中，即

f(x1)=0 f(x2)=0

，解出a=

lnx1-lnx2

x1-x2

，然后写出f'（x₀）的表达式，即用x₁，x₂ 表示f'（x₀），f'（x₀）=

1

x1-x2

[

2( x1 x2 -1)

x1 x2 +1

-ln

x1

x2

]，再令

x1

x2

=t∈(0，1)，研究h(t)=

2(t-1)

t+1

-lnt的性质，从而证明f'（x₀）的正负．

解答： 解：（1）f′(x)=

1

x

-a=

1-ax

x

，
令f'（x）＞0，则0＜x＜

1

a

；令f'（x）＜0，则x＞

1

a

．
∴f（x）在x=a时取得最大值，即f(x)max=f(

1

a

)=ln

1

a

①当ln

1

a

＞0，即0＜a＜1时，考虑到当x无限趋近于0（从0的右边）时，f（x）→-∞；当x→+∞时，f（x）→-∞
∴f（x）的图象与x轴有2个交点，分别位于（0，

1

a

）及（

1

a

，+∞）
即f（x）有2个零点；
②当ln

1

a

=0，即a=1时，f（x）有1个零点；
③当ln

1

a

＜0，即a＞1时f（x）没有零点；
（2）由

f(x1)=0⇒lnx1-ax1+1=0， f(x2)=0⇒lnx2-ax2+1=0，

得a=

lnx1-lnx2

x1-x2

（0＜x₁＜x₂），f′(x0)=

1

x0

-a=

2

x1+x2

-a=

2

x1+x2

-

lnx1-lnx2

x1-x2

=

1

x1-x2

[

2( x1 x2 -1)

x1 x2 +1

-ln

x1

x2

]，令

x1

x2

=t∈(0，1)，设h(t)=

2(t-1)

t+1

-lnt，t∈（0，1）且h（1）=0
则h′(t)=

4

(t+1)2

-

1

t

=

-(t-1)2

(t+1)2t

，又t∈（0，1），∴h′（t）＜0，∴h（t）＞h（1）=0
即

2( x1 x2 -1)

x1 x2 +1

-ln

x1

x2

＞0，又

1

x1-x2

＜0，
∴f'（x₀）=

1

x1-x2

[

2( x1 x2 -1)

x1 x2 +1

-ln

x1

x2

]＜0．

点评：本题在导数的综合应用中属于难题，题目中的两个小问都有需要注意之处，如（1）中，在对0＜a＜1进行研究时，一定要注意到f（x）的取值范围，才能确定零点的个数，否则不能确定．（2）中，代数运算比较复杂，特别是计算过程中，令

x1

x2

=t的化简和换元，使得原本比较复杂的式子变得简单化而可解，这对学生的综合能力有比较高的要求．