Question

如图已知△OPQ的面积为S，且

OP

•

PQ

=1．
（1）若S∈（

1

2

，

3

2

），求向量OP与PQ的夹角θ的取值范围；
（2）设|

OP

|=m，S=

3

4

m，以O为中心，P为焦点的椭圆经过点Q，当m≥2时，求|

OQ

|的最小值，并求出此时的椭圆方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）设

OP

与

PQ

的夹角为θ，则

PO

与

PQ

的夹角为π-θ，根据S=

1

2

OP

•

PQ

tanθ，以及

OP

•

PQ

=1，S∈（

1

2

，

3

2

）求得tanθ的范围，可得θ的范围．
（II）设Q（x₀，y₀），根据条件求得y₀和x₀的值，可得|

OQ

|的解析式．令f（x）=x+

1

x

，根据它的单调性可得|

OQ

|的最小值为

34

2

，可得焦点坐标，再利用椭圆的定义求得a，再根据椭圆的性质求得b，从而求得椭圆的方程．

解答： 解：（Ⅰ）设

OP

与

PQ

的夹角为θ，则

PO

与 

PQ

的夹角为π-θ，
∵S=

1

2

|

PO

||

PQ

|sin（π-θ）=

1

2

|

PO

||

PQ

|sinθ=

1

2

|

PO

||

PQ

|cosθtanθ=

1

2

OP

•

PQ

tanθ．
又

OP

•

PQ

=1，S∈（

1

2

，

3

2

），∴

1

2

OP

•

PQ

tanθ∈（

1

2

，

3

2

），
∴tanθ∈（1，

3

），θ∈（

π

4

，

π

3

）．
（II）设Q（x₀，y₀），则S=

1

2

m|y₀|=

3m

4

，∴y₀=±

3

2

．
∴

OP

=（m，0），

PQ

=（X₀-m，±

3

2

）．
由

OP

•

PQ

=m（x₀-m）=1，∴x₀=m+

1

m

．
∴Q（m+

1

m

，±

3

2

），|

OQ

|=

(m+ 1 m )2+ 9 4

．
令f（x）=x+

1

x

，则f（x）在（1，+∞）上是增函数，故f（x）在[2，+∞）上是增函数，
∴当m=2时，|

OQ

|的最小值为

(2+ 1 2 )2+ 9 4

=

34

2

．
此时P（2，0），椭圆的另一焦点为P′（-2，0），
则椭圆长轴长2a=|

QP

|+|

QP′

|=

( 5 2 -2)2+ 9 4

+

( 5 2 +2)2+ 9 4

=2

10

，
∴a=

10

，b=

10-4

=

6

，
故椭圆的方程为 

x2

10

+

y2

6

=1．

点评：本题主要考查椭圆的定义、性质、以及标准方程的应用，两个向量坐标形式的运算，属于中档题．