Question

已知△ABC中，顶点A（4，3），边AB上的中线CD所在直线的方程是5x-7y-5=0，边AC上高所在直线的方程是x+y-7=0．
（1）求点B、C的坐标；
（2）求△ABC的外接圆的方程．

Answer 1

考点：圆的标准方程,圆的一般方程

专题：计算题,直线与圆

分析：（1）根据题意设B（a，7-a），得到线段AB的中点为D(

4+a

2

，

10-a

2

)．由点D在直线5x-7y-5=0上，建立关于a的等式解出a=5，可得B（5，2）．然后求出AC的斜率，得到AC的方程为y=x-1，再联解直线AC、CD方程，可得点C的坐标；
（2）设△ABC外接圆的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，将A、B、C的坐标代入，得到关于D、E、F的方程组，解之即可得到△ABC的外接圆的方程．

解答： 解：（1）由题意，可得：
∵边AC上高BE所在直线的方程是x+y-7=0，点B在直线BE上，
∴设B（a，7-a），可得线段AB的中点为D(

4+a

2

，

10-a

2

)．
∵点D在中线CD：5x-7y-5=0上，
∴5•

4+a

2

-7•

10-a

2

-5=0，解之得a=5，可得B（5，2），
又∵直线AC的斜率k=

-1

kBE

=1，
∴直线AC的方程为y-3=1•（x-4），即y=x-1，
联解

5x-7y-5=0 y=x-1

得

x=1 y=0

，可得C的坐标为（1，0）．
综上所述，B、C的坐标分别为B（5，2）、C（1，0）．
（2）设△ABC外接圆的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，
则

4D+3E+F+25=0 5D+2E+F+29=0 D+F+1=0

，解之得

D=-6 E=-2 F=5

．
∴△ABC外接圆的方程为x²+y²-6x-2y+5=0．

点评：本题给出△ABC的顶点A的坐标，在已知中线CD和高BE方程的情况下求B、C两点的坐标，并求△ABC外接圆的方程．着重考查了直线的基本量与基本形式、直线的位置关系和圆的一般方程等知识，属于中档题．