Question

已知函数f₁（x）=

2x-1

x+1

．对于n=1，2，…定义f_n+1（x）=f₁（f_n（x）），若f₃₅（x）=f₅（x），f₂₈（x）=

 

．

Answer 1

考点：数列递推式,数列的函数特性

专题：计算题,函数的性质及应用,等差数列与等比数列

分析：由f₃₅（x）=f₅（x）可猜想其具有周期性，再由f₁（x）=

2x-1

x+1

，且f_n+1（x）=f₁（f_n（x）），推出f₂（x），f₃（x），f₄（x），f₅（x），f₆（x），f₇（x）从而找到规律，从而求解．

解答： 解：∵f₁（x）=

2x-1

x+1

，且f_n+1（x）=f₁（f_n（x）），
∴f₂（x）=

2 2x-1 x+1 -1

2x-1 x+1 +1

=

x-1

x

；
∴f₃（x）=f₁（f₂（x））=

2 x-1 x -1

x-1 x +1

=

x-2

2x-1

，
∴f₄（x）=f₁（f₃（x））=

2 x-2 2x-1 -1

x-2 2x-1 +1

=

-1

x-1

，
∴f₅（x）=f₁（f₄（x））=

-x-1

x-2

，
∴f₆（x）=f₁（f₅（x））=x，
∴f₇（x）=

2x-1

x+1

=f₁（x），
∴从f₁（x）到f₆（x）每6个一循环，
又∵28=4×6+4，
∴f₂₈（x）=f₄（x）=

-1

x-1

．
故答案为：

-1

x-1

．

点评：本题考查了数列的函数特性与数列的递推式应用，先猜想，后通过尝试得到周期性，从而求解，属于中档题．