Question

已知椭圆Γ：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）经过点M（4，2），且离心率为

2

2

，R（x₀，y₀）是椭圆Γ上的任意一点，从原点O引圆R：（x-x₀）²+（y-y₀）²=8的两条切线分别交椭圆于P，Q．
（1）求椭圆Γ的方程；
（2）求证：OP²+OQ²为定值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）根据椭圆Γ：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）经过点M（4，2），且离心率为

2

2

，求出a，b，即可求椭圆Γ的方程；
（2）分类讨论，因为从原点O引圆R：（x-x₀）²+（y-y₀）²=8的两条切线分别交椭圆于P，Q，可得k₁，k₂是方程(

x

2 0

-8)k2-2x0y0k+

y

2 0

-8=0的两个不相等的实数根，利用韦达定理，结合点差法，即可得出结论．

解答： 解：（1）依题意

16 a2 + 4 b2 =1 c2 a2 = 1 2

，
∵a²=b²+c²，
∴a²=24，b²=12，
∴椭圆Γ的方程为

x2

24

+

y2

12

=1．
（2）（i）当直线OP，OQ的斜率均存在时，不妨设直线OP：y=k₁x，OQ：y=k₂x
依题意

|k1x0-y0|

1+ k 2 1

=2

2

，化简得(

x

2 0

-8)

k

2 1

-2x0y0k1+

y

2 0

-8=0
同理(

x

2 0

-8)

k

2 2

-2x0y0k2+

y

2 0

-8=0，
∴k₁，k₂是方程(

x

2 0

-8)k2-2x0y0k+

y

2 0

-8=0的两个不相等的实数根，
∴k1k2=

y 2 0 -8

x 2 0 -8

，
∵

x 2 0

24

+

y 2 0

12

=1，
∴

y

2 0

=12-

1

2

x

2 0

，
∴k1k2=

4- 1 2 x 2 0

x 2 0 -8

=-

1

2

设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则

y1

x1

•

y2

x2

=-

1

2

，∴

y

2 1

y

2 2

=

1

4

x

2 1

x

2 2

，
∵

x 2 1 24 + y 2 1 12 =1 x 2 2 24 + y 2 2 12 =1

，∴

y 2 1 =12- 1 2 x 2 1 y 2 2 =12- 1 2 x 2 2

，
∴(12-

1

2

x

2 1

)(12-

1

2

x

2 2

)=

1

4

x

2 1

x

2 2

，
∴

x

2 1

+

x

2 2

=24，
∴

y

2 1

+

y

2 2

=12，
∴OP²+OQ²=36
（ii）当直线OP，OQ落在坐标轴上时，显然有OP²+OQ²=36
综上：OP²+OQ²=36（定值）

点评：本题考查椭圆方程，考查直线与圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．