Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)长轴上有一顶点到两个焦点之间的距离分别为：3+2

2

，3-2

2

．
（1）求椭圆的方程；
（2）若点P椭圆上第一象限，F₁，F₂分别为椭圆的左右焦点，若满足

PF1

•

PF2

=0，求点P到椭圆右准线的距离；
（3）过点Q（1，0）作直线l（与x轴不垂直）与椭圆交于M，N两点，与y轴交于点R，若

RM

=λ

MQ

，

RN

=μ

NQ

，求证：λ+μ为定值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知得

a+c=3+2 2 a-c=3-2 2

，由此能求出椭圆方程．
（2）由点P是椭圆上第一象限的点，F₁，F₂分别为椭圆的左右焦点，满足

PF1

•

PF2

=0，得PF₁⊥PF₂，设P（x，y）（x＞0，y＞0），则

PF1

•

PF2

=（-2

2

-x，-y）•（2

2

-x，-y）=x²+y²-8=0，与椭圆方程联立解得x=

126

4

，y=

2

4

．由此能求出点P到椭圆右准线的距离．
（3）依题意，直线l的斜率存在，故可设直线l的方程为y=k（x-1），由方程组

y=k(x-1) x2 9 +y2=1

，得（1+9k²）x²-18k²x+9k²-9=0，由此利用韦达定理结合已知条件能证明λ+μ=-

9

4

为定值．

解答： （1）解：由已知得

a+c=3+2 2 a-c=3-2 2

，
解得a=3，c=2

2

，
∴b²=a²-c²=1，
∴椭圆方程为

x2

9

+y2=1．
（2）解：∵点P是椭圆上第一象限的点，F₁，F₂分别为椭圆的左右焦点，满足

PF1

•

PF2

=0，
∴PF₁⊥PF₂，
由（1）知a=3，b=1，c=2

2

，
设P（x，y）（x＞0，y＞0），
则

PF1

•

PF2

=（-2

2

-x，-y）•（2

2

-x，-y）=x²+y²-8=0，
联立

x2 9 +y2=1 x2+y2-8=0 x＞0 y＞0

，解得x=

126

4

，y=

2

4

．
∴点P到椭圆右准线的距离：d=

a2

c

-

126

4

=

9

2 2

-

126

4

=

9 2 - 126

4

．
（3）证明：依题意，直线l的斜率存在，故可设直线l的方程为y=k（x-1），
设M（x₃，y₃）、N（x₄，y₄）、R（0，y₅），则M、N两点坐标满足方程组

y=k(x-1) x2 9 +y2=1

，
消去y并整理，得（1+9k²）x²-18k²x+9k²-9=0，
所以x₃+x₄=

18k2

1+9k2

，①
x₃x₄=

9k2-9

1+9k2

，②
因为

RM

=λ

MQ

，所以（x₃，y₃）-（0，y₅）=λ[（1，0）-（x₃，y₃）]，
即

x3=λ(1-x3) y3-y5=-λy3

，所以x₃=λ（1-x₃），
又l与x轴不垂直，所以x₃≠1，
所以λ=

x3

1-x3

，同理μ=

x4

1-x4

．
所以λ+μ=

x3

1-x3

+

x4

1-x4

=

(x3+x4)-2x3x4

1-(x4+x3)+x3x4

将①②代入上式可得λ+μ=-

9

4

为定值．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查点到直线的距离公式的应用，考查两数和为定值的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．