Question

如图，已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）d的离心率为

2

2

，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F₁、F₂为顶点的三角形的周长为4（

2

+1）．一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF₁和PF₂与椭圆的交点分别为A、B和C、D．
（1）求椭圆和双曲线的标准方程；
（2）是否存在常熟λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立？若存在，求λ的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：圆锥曲线的综合

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由题意知，椭圆离心率及椭圆的定义，根据以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F₁、F₂为顶点的三角形的周长为4（

2

+1），可求得椭圆的方程，等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点可求得该双曲线的方程；
（2）设点P（x₀，y₀），根据斜率公式，求得直线PF₁、PF₂的斜率乘积为1，设直线AB的方程，可求出直线CD的方程，联立直线和椭圆方程，利用韦达定理，即可求得|AB|，|CD|，代入|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|，求得λ的值．

解答： 解：（1）由题意知，椭圆离心率为

c

a

=

2

2

，得a=

2

c，
因为2a+2c=4(

2

+1)，所以可解得2

2

，c=2，所以b²=a²-c²=4，
所以椭圆的标准方程为

x2

8

+

y2

4

=1，
所以椭圆的焦点坐标为（±2，0），
因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，
所以该双曲线的标准方程为

x2

4

-

y2

4

=1；
（2）设点P（x₀，y₀），直线PF₁、PF₂的斜率分别为k₁、k₂，则k₁•k₂=

y0

x0+2

•

y0

x0-2

=

y02

x02-4

=1，
假设存在常数λ，使得得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立，
则设直线AB的方程为y=k（x+2），直线CD的方程为y=

1

k

（x-2），
y=k（x+2）代入椭圆方程消y得：（2k²+1）x²+8k²x+8k²-8=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则由韦达定理得x1+x2=-

8k2

2k2+1

，x1x2=

8k2-8

2k2+1

∴|AB|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

4 2 (1+k2)

2k2+1

，
同理可得|CD|=

4 2 (1+k2)

k2+2

．
∵|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|，
∴λ=

1

|AB|

+

1

|CD|

=

3(k2+1)

4 2 (k2+1)

=

3 2

8

，
∴存在常数λ=

3 2

8

，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立．

点评：本题考查了椭圆的定义、离心率、椭圆与双曲线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系，考查同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力，有一定的难度．