Question

已知圆A过点P(

2

，

2

)，且与圆B：（x+2）²+（y-2）²=r²（r＞0）关于直线x-y+2=0对称．
（1）求圆A的方程；
（2）若HE、HF是圆A的两条切线，E、F是切点，求

HE

•

HF

的最小值．
（3）过平面上一点Q（x₀，y₀）向圆A和圆B各引一条切线，切点分别为C、D，设

|QD|

|QC|

=2，求证：平面上存在一定点M使得Q到M的距离为定值，并求出该定值．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：直线与圆

分析：（1）设出圆心坐标，利用圆与圆B：（x+2）²+（y-2）²=r²（r＞0）关于直线x-y+2=0对称，求出圆心坐标，再代入P的坐标，即可得出圆A的方程；
（2）设∠EHF=2θ，|

HA

|=t，利用向量的数量积公式表示出

HE

•

HF

，再利用基本不等式，可求

HE

•

HF

的最小值．
（3）利用

|QD|

|QC|

=2，确定Q（x₀，y₀）的轨迹方程，结合距离公式可得结论．

解答： （1）解：设圆A的圆心A（a，b），由题意得：

b-2 a+2 •1=-1 a-2 2 - b+2 2 +2=0

解得

a=0 b=0

，
设圆A的方程为x²+y²=r²，将点P(

2

，

2

)代入得r=2，
∴圆A的方程为：x²+y²=4；
（2）解：设∠EHF=2θ，|

HA

|=t，
则

HE

•

HF

=|

HE

||

HF

|cos2θ=|

HF

|2cos2θ=(|

HA

|2-4)(1-2sin2θ)=(t2-4)(1-2•

4

t2

)=t2+

32

t2

-12≥8

2

-12
当且仅当t2=

32

t2

即t=

4	32

时取等号，
∴

HE

•

HF

的最小值为8

2

-12；
（3）由（1）得圆A的方程为：x²+y²=4，圆B：（x+2）²+（y-2）²=4，
由题设得|QD|=2|QC|，即

QB2-4

=2

QA2-4

，
∴(x0+2)2+(y0-2)2-4=4(

x

2 0

+

y

2 0

-4)，
化简得：3

x

2 0

+3

y

2 0

-4x0+4y0-20=0，
∴(x0-

2

3

)2+(y0+

2

3

)2=

68

9

，
∴存在定点M（

2

3

，-

2

3

）使得Q到M的距离为定值

2 17

3

．

点评：本题考查圆的方程，考查向量的数量积公式，考查轨迹方程，考查学分析解决问题的能力，属于中档题．