Question

13．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{3}$，|2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{7}$，则$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$的夹角为（　　）

• A． 30°
• B． 60°
• C． 120°
• D． 150°

Answer 1

分析 设$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$的夹角为θ，由题意求得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0，|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{1+3}$=2，再利用 cosθ=$\frac{\overrightarrow{b}•（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）}{|\overrightarrow{b}|•|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|}$，求得θ的值．

解答 解：设$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$的夹角为θ，θ∈（0°，180°），∵向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{3}$，|2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{7}$，
∴4${\overrightarrow{a}}^{2}$+4$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$=7，即 4+4×1×$\sqrt{3}$×cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞+3=7，∴cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=0，
∴$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0，|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{1+3}$=2．
∴cosθ=$\frac{\overrightarrow{b}•（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）}{|\overrightarrow{b}|•|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|}$=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}{-\overrightarrow{b}}^{2}}{\sqrt{3}•2}$=$\frac{0-3}{\sqrt{3}•2}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴θ=150°，
故选：D．

点评 本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模，两个向量垂直的判定，属于中档题．