Question

8．已知命题P：已知函数f（x）=（2-a）x为R上的减函数，命题q：函数y=lg（ax²-ax+1）的定义域为R，如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 命题P：已知函数f（x）=（2-a）x为R上的减函数，则2-a＜0，解得a．命题q：函数y=lg（ax²-ax+1）的定义域为R，可得a=0，或$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△={a}^{2}-4a＜0}\end{array}\right.$，解得a范围．如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，则命题p与q必然一真以假，即可得出．

解答 解：命题P：已知函数f（x）=（2-a）x为R上的减函数，则2-a＜0，解得a＞2．
命题q：函数y=lg（ax²-ax+1）的定义域为R，
∴a=0，或$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△={a}^{2}-4a＜0}\end{array}\right.$，解得a=0或0＜a＜4，即0≤a＜4．
如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，则命题p与q必然一真以假，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞2}\\{a＜0或a≥4}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{a≤2}\\{0≤a＜4}\end{array}\right.$，
解得a≥4或0≤a≤2．
∴实数a的取值范围是[0，2]∪[4，+∞）．

点评 本题考查了函数的单调性、对数函数的性质、简易逻辑的判断方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．