Question

8．若sin α=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，sin β=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，且α，β均为钝角，求cos（α+β）的值以及α+β的值．

Answer 1

分析 利用同角三角函数的基本关系求得 α，β的范围，以及cosα 和cosβ 的值，再利用两角和的余弦公式求得cos（α+β）的值以及α+β的值．

解答 解：∵sin α=$\frac{\sqrt{5}}{5}$＜$\frac{1}{2}$，sin β=$\frac{\sqrt{10}}{10}$＜$\frac{1}{2}$，且α，β均为钝角，∴α∈（$\frac{5π}{6}$，π）、β∈（$\frac{5π}{6}$，π）
∴cosα=-$\sqrt{{1-sin}^{2}α}$=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，cosβ=-$\sqrt{{1-sin}^{2}β}$=-$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
∴α+β∈（$\frac{5π}{3}$，2π），cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$•（-$\frac{3\sqrt{10}}{10}$）-$\frac{\sqrt{5}}{5}•\frac{\sqrt{10}}{10}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴α+β=$\frac{7π}{4}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和的余弦公式的应用，属于基础题．