Question

13．求下列函数的导教：
（1）y=x（x²+$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{{x}^{3}}$）；
（2）y=（$\sqrt{x}$+1）（$\frac{1}{\sqrt{x}}$-1）；
（3）y=xtanx；
（4）y=x-sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$；
（5）y=3lnx+a^x（a＞0，且a≠1）．

Answer 1

分析 根据导数的公式，分别进行求解即可．

解答 解：（1）y=x（x²+$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{{x}^{3}}$）=x³+1+$\frac{1}{{x}^{2}}$；
则函数的导数y′=3x²-$\frac{2}{{x}^{3}}$．
（2）y=（$\sqrt{x}$+1）（$\frac{1}{\sqrt{x}}$-1）=1-$\sqrt{x}$+$\frac{1}{\sqrt{x}}$-1=-$\sqrt{x}$+$\frac{1}{\sqrt{x}}$，
则y′=-$\frac{1}{2\sqrt{x}}$-$\frac{1}{2\sqrt{{x}^{3}}}$；
（3）y=xtanx=$\frac{xsinx}{cosx}$，则y′=$\frac{（xsinx）′cosx-xsinx（cosx）′}{co{s}^{2}x}$=$\frac{（sinx+xcosx）cosx+xsi{n}^{2}x}{co{s}^{2}x}$
=$\frac{sinxcosx+xco{s}^{2}x+xsi{n}^{2}x}{co{s}^{2}x}$=$\frac{sinxcosx+x}{co{s}^{2}x}$；
（4）y=x-sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$=x-$\frac{1}{2}$sinx；
则y′=1-$\frac{1}{2}$cosx．
（5）y′=$\frac{3}{x}$+a^xlna．

点评 本题主要考查导数公式的计算和判断，要求熟练掌握掌握常见函数的导数公式，比较基础．