Question

8．设等差数列{a_n}的前n项和为S_n．已知（a₂-1）³+2013（a₂-1）=1，（a₂₀₁₂-1）³+2013（a₂₀₁₂-1）=-1，则S₂₀₁₃等于（　　）

• A． 1006
• B． 1007
• C． 2012
• D． 2013

Answer 1

分析 由已知条件推导出a₂+a₂₀₁₂=2，由此能求出S₂₀₁₃的值．

解答 解：∵等差数列{a_n}的前n项和为S_n．
（a₂-1）³+2013（a₂-1）=1，（a₂₀₁₂-1）³+2013（a₂₀₁₂-1）=-1，
∴（a₂-1）³+2013（a₂-1）+（a₂₀₁₂-1）³+2013（a₂₀₁₂-1）=0，
整理可得（a₂+a₂₀₁₂-2）•[（a₂-1）²+（a₂₀₁₂-1）²-（a₂-1）（a₂₀₁₂-1）+2013]=0，
∵由（a₂-1）³+2013（a₂-1）=1，（a₂₀₁₂-1）³+2013（a₂₀₁₂-1）=-1
∴a₂-1＞0，-1＜a₂₀₁₂-1＜0，即a₂＞1，0＜a₂₀₁₂＜1，从而可得等差数列的公差d＜0
∴（a₂-1）²+（a₂₀₁₂-1）²-（a₂-1）（a₂₀₁₂-1）+2013＞0，
∴a₂+a₂₀₁₂=2，
∴S₂₀₁₃=$\frac{2013}{2}（{a}_{1}+{a}_{2013}）$=$\frac{2013}{2}（{a}_{2}+{a}_{2012}）$=$\frac{2013}{2}×2$=2013．
故选：D．

点评 本题考查等差数列的前2013项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．