Question

设椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）恒过定点A（1，2），则椭圆的中心到直线l：x=

a2

c

的距离的最小值为

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：函数的性质及应用,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）恒过定点A（1，2），可得

1

a2

+

4

b2

=1，利用椭圆几何量之间的关系，设

a2

c

=t，等式可转化为t²a⁴-（t²+1）a²+5=0，有正根的问题求解，即可求得椭圆的中心到准线的距离的最小值．

解答： 解：∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）恒过定点A（1，2），
∴可得

1

a2

+

4

b2

=1
设椭圆的中心到直线l：x=

a2

c

的距离为d=

a2

c

椭圆的焦距为2c，同时可设

a2

c

=t，∴c=ta²

∴b²+4a²=a²b²
∴5a²-c²=a²（a²-c²）
∴5a²-（ta²）²=a²[a²-（ta²）²]
∴t²a⁴-（t²+1）a²+5=0有正根，∴

△≥0 t2+1 t2 ＞0 5＞0

即只需△=（t²+1）²-20t²≥0，且t＞0时，方程有解
∴t²-2

5

t+1≥0
∴t≥

5

+2，或0＜t≤

5

-2
椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）恒过定点A（1，2），
∴椭圆的中心到准线x=

a2

c

＞1
∴椭圆的中心到准线的距离的最小值

5

+2，
故答案为：

5

+2，

点评：本题综合考查椭圆的标准方程与性质，考查解不等式，考查学生分析解决问题的能力，有一定的技巧．